彩票悖论与序言悖论的统一解

彩票悖论与序言悖论的统一解^

顿新国^

（南京大学哲学系 南京大学现代逻辑与逻辑应用研究所,南京 210023）

摘要：彩票悖论和序言悖论都被学界广泛认为是关于信念的悖论，但对它们的研究基本处于分立态势。论文通过分别考察和分析这两个悖论的形成过程，揭示了它们所具有的统一结构；对在这两个悖论共同的逻辑结构中起关键作用的算子变量作断言解释，从而断言汇集是统一结构的最重要构成要素。论文进而分别给出了对相应断言汇集作集合概念和非集合概念这两种可能理解下的彩票悖论和序言悖论的统一解决方案，并对这种方案给予了强有力的哲学辩护。

关键词：彩票悖论；序言悖论；同构；断言规范

中图分类号：N031   文献标识码：A

彩票悖论被国内外学界广泛认为是一个关于信念合理可接受性这一根本问题的悖论，从而在认识论、逻辑哲学和科学哲学等领域激发热烈而持久的讨论。同一时期被发现的序言悖论也被看作是信念的合理性悖论，也得到了学界的广泛讨论。这两个悖论分别从量化的角度和定性的角度向我们展示，合理相信一个命题与对该命题的信念度之间关系的本性还远未解决。关于这两者之间关系的一种高度符合直观的观点是：相信一个命题是合理的，当且仅当，对该命题有足够高的置信度。这就是弗雷所说的“洛克论点”。^〔1〕尽管对这两个悖论的讨论和研究通常是独立进行的，目前似乎有对这两者进行对比或统一研究的趋势。^{〔2〕241-264〔3〕}但无论是对这两者的独立研究还是统一研究都是在信念视角下进行的。本文拟从分析和论证构成这两个悖论的案例具有同样的逻辑结构着手，从断言视角统一地考察这两个悖论，指出它们是断言悖论，进而尝试从语用的言语行动视角对它们给出一个统一的解决方案。

一、彩票悖论与序言悖论

彩票悖论最早由凯伯格（Henry E. Kyburg）在1961年发现，后又在1970年的《合取主义》这篇论文中详加阐述。^〔4〕56根据该论文，彩票悖论大致如下：考虑一次有一百万张奖券的抽奖活动。其中有且只有一张彩票会中奖。考虑假说“第7张彩票不会中奖”。根据假设，这是一次公平的抽奖活动，这个假说只有一百万分之一的机会是假的。这是接受这一假说的充足理由。根据同样的论证，有理由接受假说“第i张彩票不会中奖”。根据合取原则，我们可以得到合取式：“第1张彩票不会中奖”并且“第2张彩票不会中奖”并且……。最后，可以合理接受一个形如下述的合取式：对任意的1≤i≤1000000，第i张彩票不会中奖。但根据这次公平抽奖活动规则有：对某个1≤i≤1000000，第i张彩票会中奖。根据合取原则，信念集S中必定既包含前面那个全称量化命题又包括后面这个存在量化命题。但它们的合取显然是一个矛盾式，即有某张彩票i既会中奖又不会中奖。这就是广为人知的彩票悖论。凯伯格认为得出这一矛盾显然违背了弱一致性原则，于是，“我得出结论，弱演绎原则和弱一致性原则值得坚持，从而应该抛弃合取原则。”^〔4〕56

几乎在凯伯格发现彩票悖论的同一时期，麦金森（D. C. Makinson）于1965年发现了序言悖论。序言悖论大致如下。学术著作的作者通常会在序言中对该著作学术观点有帮助的人表达谢忱，同时还表达一切不良后果均由他本人承担。譬如他会说，感谢某某对本书提出的宝贵建议和批评，本书不可避免存在一些错误与不足，但这些均完全由作者本人负责等。假设作者在书的正文中作下大量陈述，称之为s₁，s₂，……，s_n。对其中任意一个陈述，作者本人都相信它是真的。但根据他以前发表论文或出版著作的经验，他也有理由相信他著作中有陈述是假的，即相信在s₁，s₂，……，s_n中至少存在某个s_i是假的。即正如他在序言中所写的那样，书中不可避免地存在错误，因此他相信并非他在本书正文中所作的陈述事实上都是真的，即相信 (s₁∧s₂∧……∧s_n)为真。于是，作者即相信(s₁∧s₂∧……∧s_n)又相信(s₁∧s₂∧……∧s_n)。麦金森将这一境况称为序言悖论。^〔5〕

这两个一经发现即得到学界广泛关注，认识论家、逻辑学家和科学哲学家都加入对它们的深入讨论。这可能是因为这两个悖论所揭示的问题是关乎人类理性和认知的根本性问题。例如，我们是否以及何时才能合理地相信一个尚未得到证实的（定性的或高概率的）经验命题？信念和真以及知识的关系究竟是什么？如何才能保证认知主体有一个融贯的信念系统？

二、彩票悖论与序言悖论的同构性

尽管彩票悖论和序言悖论被发现的时间相近，它们所关乎的问题都是人类理性和认知的根本性问题，但学界对它们的研究却以分立的方式占主导。这主要体现在发表的大量文献大都只关注某个悖论，旨在分析某个悖论的形成及提出其解决方案，而不关注它们是否有共同的成因，是否可能构造一个统一的解决方案。并且，学界对这两个悖论聚焦度有较大差异，研究者们更多地将焦点放在对彩票悖论的研究上。这一点可从发表文献的数量窥见一斑。

例如，对彩票悖论的研究大致可以分为三大路径。一条路径是修改合取原则，这以凯伯格为代表^〔4〕56-78；一条路径是抛弃作为高概率接受规则的洛克论点，而代之以认知效用规则，这一路径以莱维为代表^〔6〕；第三条路径是对洛克论点进行限制，其主要策略是将待决信念放在一个信念集中进行考察，给出能进入该信念集所必须满足的条件。^{〔7〕〔8〕〔9〕}这一路径的解决方案最多，它们所施加的限制条件的类型和严格程度均各不一样，有的属于情境迟钝型，而有的属于情境敏感性的。正因学界对彩票悖论的讨论更为热烈，本人曾对彩票悖论的研究进行较为详细的梳理，考察了各代表性方案的成就得失，以及同一路径各方案之间、各路径方案之间的逻辑与历史关联。^〔10〕在此不再赘述。

鲜少对彩票悖论和序言悖论进行统一研究的主要原因可能是学界对这两者是否逻辑同构有分歧，主导观点是它们不具有同构性。比如弗雷（Richard Foley）说，“尽管彩票案例和序言案例表面上相似，但它们……是非常不同的。”^〔11〕尽管豪森（James Hawthorne）认为“作为悖论，彩票悖论和序言悖论显然极为类似……它们一起说明了定性的信念概念和量化的信念概念之间的关系的互补性。”^〔2〕244但他没有明确表示更不用说论证这两个悖论同构。我下面将要论证这一点。

彩票悖论和序言悖论不同的印象极可能来自前者是关于概率性命题的而后者则不是。但这两者实际是可以相互转化的。一方面，在彩票悖论的研究实践中，讨论的通常是“第i张彩票不会中奖”这样的定性命题，而不是“第i张彩票99.9999%不会中奖”这样的量化的概率性命题，或者说这儿有一个从量化到定性的转变。另一方面，序言悖论中的语句也可合理地以量化的方式出现：作者并非对其著作中所有陈述都十分确定，其中不十分确定的陈述就可以高概率命题的形式出现。另外，即便有人不承认这种相互可转化性，但他也不能否认概率性命题和非概率性命题在相关悖论性场景中的互补性。这个悖论性场景是：在同一背景知识下，相信单个命题都是合理的，但相信所有这些命题的合取会导致悖论。这种悖论场景的相似性及互补性恰好在一定程度上佐证了这两个悖论的同构性。

除此之外，这两个悖论还在其他方面相似。首先，这两个悖论中的相关陈述都有很强的证据。在彩票悖论中，某张彩票不会中奖的强有力证据是它中奖的概率非常低，从而它不会中奖的概率非常高；在序言悖论中，作者对其在学术著作中所作的陈述显然具有很高的信念度，这种高信念度显然是基于相应的强有力证据。

其次，在这两个案例中，相应陈述集中都有虚假陈述，陈述数量有限且不知道哪一个陈述是虚假的。在彩票案例中，相关的陈述集是由“第i张彩票不会中奖”这种形式的陈述构成；而在序言案例中，陈述集由作者在正文中所作陈述构成。但在这两个案例中，都不知道具体是哪个陈述为假。

第三，在对彩票悖论和序言悖论的研究实践中，通常都是在合理相信视角下进行的。无论这种视角是否是唯一正确的视角，至少从这个视角看，这两个悖论是关于陈述或命题之合理相信的。这一相似之处暗示，即便它们不是关于合理信念的，至少也是关于命题之同一个方面的，比如说，都是关于命题之接受、命题之断定等。

还可以找出其他一些相似之处。例如，在这两个案例中都有一个关于相应陈述集中之陈述的总体性断言，并且这种关于陈述集中元素的“总体性”断言是否定性的。在彩票案例中，作为背景知识的抽奖规则断言有一张会中奖，而相应陈述集中的陈述的形式是“第i张彩票不会中奖”，这一规则就相当于断言“并非（关于这些彩票的）陈述都是真的”；在序言案例中，作者在序言中断言书中不可避免地存在错误，亦即断言“并非（正文中的）陈述都是真的”。毫无疑问，这两个总体性陈述都蕴涵相应陈述汇集中存在虚假陈述。这一关于陈述汇集的“总体性”陈述目前尚未得到研究者们的注意。但在笔者看来，这一相似之处很重要，它可能提示一种新颖的解决方案。

上述相似之处向我们展现：彩票案例和序言案例都是关于原子陈述的同一方面；在构成方面，这些陈述由两类构成，一类是有限的单称陈述，它们构成相应的陈述集，另一类是一个关于在该陈述集中存在虚假陈述的陈述。可以将这种统一结构表达如下：

(p₁，p₂，……，p_n)并且 p_i。

在此，(p₁，p₂，……，p_n)表示在两个案例中分别所作的大量单称陈述；p_i中的可以看作算子，是对陈述“所关注”的那一个方面。根据研究者对这两个案例的不同解读视角，它可以是表达各种不同认知态度甚至其他维度的算子，比如说知道算子、相信算子、断定算子等。

三、对作为断言悖论的彩票悖论和序言悖论的消解

对上述统一结构的解读的关键在于对的解读，对的不同解读会产生不同版本或形式的彩票悖论和序言悖论。对的知道算子解读太强，明显与这两个案例的原意不符。例如，开奖前我们并不知道一百万张彩票中的任意一张是否会中奖；作者在著作中所作的陈述并不都是其知识，有的只是其推断。因此，本文将不讨论这两个悖论的知识（知道）版本。因篇幅限制，以及笔者曾在他文中论证过信念视角下的彩票悖论不是严格意义的悖论，本文将目前国内外学界占主导地位的相信算子解读留待以后专文讨论，而在本节仅讨论对作断言（assertion）理解的彩票悖论与序言悖论。

断言（asserting）是一种言语行动，我们通过下断言来表达和交流知识。我们在说出或写下某个陈述时就是在下断言，断言是作为内在状态的判断的外在表现，正如威廉姆森所说：“确实，断言是判断的外在类似物。”^〔12〕因此，根据这种广为持有的观点，在说出“这张彩票没有中奖”（p₁）或在学术专著中写下“归纳悖论是一个认识论悖论家族”（p₂）时，我们在对它们下断言，即断定p₁和 p₂。这就是说，在将p中的解读为断言算子时，它就坍塌为p而不必是Ap。于是，彩票悖论和序言悖论展现的共同逻辑结构为：断言汇集A(p₁，p₂，……，p_n)，并且p_i。其中 p_i是汇集A的元素。

显然，断言版本的彩票悖论与序言悖论之解决的关键是对断言汇集A的理解，而这又本质地涉及对断言这种言语行动本身之特性的理解。

1.将断言汇集看作非集合概念

如果认为断言是一种无情境性的、非语用的言语行动，我们就可以将“正文中所作断言”和“这次抽奖活动的彩票”看作非集合概念，从而对汇集中的断言作单个的、分立理解，对它们进行合取运算。此时，这一断言汇集等值于(p₁∧p₂∧…∧p_i∧…∧p_n)。于是有p_i∧p_i。这样就得出了矛盾，从而可以构造较为严格的断言形式的彩票悖论和序言悖论。

消解这种理解下的断言悖论在技术上很简单，焦点在于断言者是否有认识论上的权威断言每个相应陈述。如果断言者没有这样的权威，从而(p₁∧p₂∧…∧p_i∧…∧p_n)，于是不能必然地得到p_i，悖论就得到消解。而断言者是否有此权威由断言的规范（norms）决定。在威廉姆森、德鲁兹（K. DeRose）^〔13〕、豪森^〔14〕和塔雷（J. Turri）^〔15〕等看来，断言的规范是断言的构成性要素，所有断言必须遵守的这一规范是知识，即仅当断言者知道p（即p是其知识）时，才能断定p。这一观点是当前学界关于断言规范的主导性观点，但也有学者认为断言的知识要求太强。例如，威勒（weiner）^〔16〕认为只需p是真的就可断言p；勒克（Lackey）^〔17〕的要求更弱，认为只需主体合理地相信p他就可断言p。本文将断言的知识规范弱化为真。显然，如果断言的真规范能消解悖论，则断言的知识规范也能消解这些悖论。

在彩票案例中，在开奖结果出来之前，“第i张彩票不会中奖”的真值并未被确定。也就是说，断言“第i张彩票不会中奖”的人并不知道这张彩票是否真的会中奖。因此，根据断言的真规范，他本来没有认识论上的权威作这样的断言，他作这样的断言是一种虚妄。从而彩票悖论被消解。

同样，在序言案例中，作者在其正文中所作的陈述，从而在其正文中所作的断言，并非都事实上是真的，有些断言只是其主观推断。这一点是显然的。例如，本人在《归纳悖论研究》中断言“归纳悖论是一个知识论悖论家族。”但这一命题只是我通过研究对归纳悖论的本性所作的推断，其真尚未被确立，因此可能是错的。对于这类命题，作者本应“谦虚地”以“我相信p”而不是“p”这种形式来表达。这样，作者书中的某些断言并不是“合乎规范的”，或者说作者在认识论上本来无权对它们中的每个都作断定，但作者实际这样做了，从而违反了断言的真规范。于是，序言悖论被消解。

另一方面，在日常实践中，通常认为断言者确实在认识论上有权断定这两个案例中的大多数相关陈述，这种情况可以通过对相关汇集作集合概念理解来解释。

2.将断言汇集看作集合概念

如第二部分所言，关于彩票案例和序言案例的一个共同的基本事实是，它们中的大多数陈述事实上是真的，只是不能具体确定究竟哪个（些）为假。如果断言是一种语用的言语行动，具有情境敏感性，就可将“正文中的陈述”看作一个集合概念，从而可以与这一共同的基本事实一致。

断言的情境敏感性在序言案例中表现得非常明显：作者在正文中所作的一系列陈述是关于多个话题的，从而处在不同的情境中。在断言某个p_i时，他很可能根本没想到关于另外某个话题的p_k，他在下这两个断言时处于不同的思想“情境”。在序言中对正文所下断言进行评价时，他又处于另外一种不同的思想情境。显然此时他大脑中不可能一次性或依次浮现正文中所有断言，而是把它们当作一个整体来看待，呈现的仅是代表断言整体的“部分”。正是在这一情境中，“正文中所作断言”变成了一个集合概念而不是分立讨论情境中的非集合概念。呈现在大脑中代表整体的“部分”是指断言汇集(p₁，…p_i，…，p_n)中的任意m个元素。在此m是一个变量，是一个大于1小于n的自然数。此时在断言者的大脑中，他在正文中所作断言实际上是(p₁∧p₂∧…∧p_i∧…∧p_n)的弱化式，它是其中m个元素的合取。也就是说，他并不是断言正文中所作陈述中的每一个，于是可以有假的陈述，从而可以与序言中关于存在虚假断言的那个断言一致，序言悖论得到了消解。

由于彩票案例与序言案例同构，同理可将本次抽奖活动中的“彩票”理解为集合概念。根据这种理解，彩票案例中被断言者断定的只是大多数彩票而非“所有”彩票，亦即断言者并没有断定本次抽奖活动中的每一张彩票都不会中奖，从而不排除有彩票中奖的可能性，这与本次抽奖活动的规则是一致的。因此，彩票悖论被消解。

上述方案的关键在于对两个案例中所作断言的“弱化”，对这种处理的合理性简要辩护如下。首先，这种弱化是通过对相关概念作集合概念理解达致的。依语境的不同，同一个语词可以作集合概念和非集合概念，这一点已是学界共识。其次，这种处理在言语行动实践中比比皆是。例如，在上级宣布他是某领导职位候选人时，被推选者通常会说“我的条件还不成熟”。此时他断言的不是每个条件都不成熟，而只是谦虚、诚恳、真实地表达他有的条件还不成熟。其次，彩票悖论的发现者多次表达要抛弃信念的合取原则，认为从相信第1张彩票不会中奖、相信第2张彩票不会中奖、……、相信第n张彩票不会中奖，不能得出相信这n张彩票都不会中奖。这实际上正是对信念在上述意义上的弱化。再者，有学者在合理信念而非断言框架下提出应对序言案例中正文所陈述的东西（信念）进行“统计弱化”，并给出了相应的弱化模式。^〔18〕这一最近研究趋向以及该文所作的辩护也为本方案提供了强有力的间接辩护。

四、结语

尽管目前学界对彩票悖论和序言悖论的主导研究范式是合理信念范式，即在信念视角下分别解决它们，但这一视角可以统摄到本文所提出的言语行动路径上的断言视角。以彩票悖论为例，研究者认为“第i张彩票不会中奖”（其命题形式是p_i）实际表达的是一个信念，即相信第i张彩票不会中奖，用符号表示为Bp_i。因此，彩票悖论研究文献中所说的信念集{p₁， p₂，…… p_n}实际应是命题集{Bp₁，Bp₂，…… Bp_n}，前者只是后者的一种简略说法。根据断言（assertion）的词典定义，断言可以是对事实也可以是对信念的肯定性宣告，因此后者可以看作从二阶断言{Bp₁，Bp₂，…… Bp_n}退化而来。在此是断言算子，B是相信算子。但由信念集{Bp₁，Bp₂，…… Bp_n}与Bp_i能否构成严格的悖论以及如何解决值得专文讨论。由此可见，断言与信念之间关系问题对令人信服地完满解决这两个悖论意义重大。另外，对断言的认识论要求本质地影响这两个悖论的解决，这一要求越强，在技术上消解悖论更简单，但由此引发的哲学辩护更困难。因此，断言的本性、规范问题以及它与信念之间的关系问题将是后续研究的主要问题。

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A Unified Solution to the Lottery Paradox and the Preface Paradox

DUN Xin-guo

(Philosophy Department, Institute of Modern Logic and Application, Nanjing University 210023)

Abstract：Although both the lottery paradox and the preface paradox are popularly thought as paradoxes of belief, the researchers have studied them respectively. The article exams and analyses the formation of the two paradoxes respectively, and concludes that they are isomorphic. It interprets the key operator parameter in the same logical structure of the two paradoxes as assertion operator, sothe corresponding collection of statements is the most important element of the structure. Then, the article proposes corresponding solutions to the lottery paradox and the preface paradox according to the different understandings to the collection of assertions. The solution is also philosophically justified.

Key words: lottery paradox; preface paradox; isomorphic; norm of assertion